특수상대성 이론 : 쌍둥이 역설

쌍둥이 역설

오늘은 특수상대성 이론 중 쌍둥이 역설에 대해 소개해드리겠습니다.

시간 지연이란 운동하는 계의 시간이 더 천천히 흐르는 현상을 말합니다. 그런데 시간 지연은 상대적이라 서로 상대의 시계가 천천히 흐른다고 주장하게 되는데요. 이러한 시간 지연의 상대성은 곧바로 쌍둥이 역설로 이어집니다.

 

쌍둥이 중 한 명이 지구를 떠나 먼 외계 행성까지 여행 후 다시 지구로 귀환한다고 가정해보죠. 편의상 지구를 떠난 쌍둥이를 A, 지구에 남은 쌍둥이를 B라 하겠습니다. A와 B 중 누구의 시간이 더 천천히 흘렀을까요? 특수상대성 이론에 따르면 운동하는 쪽의 시간이 천천히 흐른다고 했으니 A의 시간이 천천히 흘렀어야 합니다.

 

그런데, 모든 운동은 상대적입니다. A의 입장에서는 자신이 정지해 있고 지구가 멀어졌다 다시 가까워지는 상황으로 바라볼 수 있습니다. 이 경우라면 B의 시간이 더 천천히 흘렀어야 합니다. 그렇다면 A가 B보다 젊은 동시에 B 또한 A보다 젊은 것일까요? 서로가 더 젊게 돼버리는 논리적으로 모순이 되는 현상, 이것이 쌍둥이 역설입니다.

 

실제로는 누가 나이를 덜 먹었는지 결론을 미리 말씀드리고, 간단한 공식을 활용한 풀이를 해보겠습니다.

결론 : 지구를 떠난 A가 지구에 있는 B보다 나이를 덜 먹었다.

 

풀이

풀이에 필요한 자료는 그림 두 장과 중학생 때 배운 공식 3가지입니다.

공식 1 : 피타고라스의 정리

공식 2 : 거리(l) = 속력(v) X 시간(t)

공식 3 : 빛의 속도(c)는 항상 일정한 값을 가진다.(광속 불변의 원리)

 

지구를 떠난 쌍둥이 A는 외계 행성을 향해 v의 속력으로 이동하는 우주왕복선 안에 있습니다. 지구에 있는 쌍둥이 B는 A의 움직임을 바라보고 있죠. 이때 노란색 원으로 된 빛 입자가 있다고 가정해 보겠습니다. 빛 입자는 우주왕복선을 타고 있는 A의 입장에서는 왔다 갔다 하면서 보라색 선을 그리지만, 가만히 있는 B의 입장에서는  우주선이 움직인 거리만큼 빛 입자도 같이 이동하면서 파란색 선을 그립니다.

 

녹색선은 우주왕복선의 이동 거리로 B의 시간(\(t_{B}\))동안 v속력으로 움직였습니다.

공식 2를 이용하면 녹색선 길이 = \(vt_{B}\)

보라색 선을 중심으로 나누기 2를 하면 각각 \(\frac{vt_{B}}{2}\)가 될 것입니다.

보라색 선 2l은 빛이 A의 시간 동안 이동한 거리입니다.

이렇게 하면, l = \(\frac{ct_{A}}{2}\) 식을 얻을 수 있습니다.

피타고라스 정리를 이용하면, $$(\frac{vt_{B}}{2})^{2}+(\frac{ct_{A}}{2})^{2}=(\frac{ct_{B}}{2})^{2}$$ 위와 같은 방정식을 얻을 수 있습니다.

 

이를 \(t_{A}\)와 \(t_{B}\)의 관계식으로 바꿔주면,

$$t_{B}={\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}}t_{A}$$ 이렇게 됩니다.

\({\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}}\)를 로렌츠 인자라 부르고 간단히 \(\gamma\)로 표기합니다.

 

광속 c는 불변이기 때문에, 우주선의 속력인 v만이 변수가 됩니다.

If, v=0 → \(\gamma\)의 분모값이 \(\sqrt{1}\) 되기 때문에 \(t_{B}\)와 \(t_{A}\)의 값은 같게 됩니다.

If,  v>0 → \(\gamma\)는 항상 1보다 크게 됩니다.

따라서 \(t_{B}\) = (1 이상) x \(t_{A}\) 이므로,

B의 시간이 항상 A의 시간보다 더 빨리 흐르는 것이죠.

 

그렇다면 정말 A가 우주왕복선을 타고 외계행성에 다녀왔을 때, B가 더 늙은 걸 눈치챌 수 있을까요? 다른 말로 하면 누가 봐도 A가 나이를 덜 먹은 걸 인지할 수 있을까요? 아마 높은 확률로 눈치채지 못하실 겁니다.

 

현재 인류의 비행 기술은 아무리 빨리 날아도 광속에 비하면 매우 느린 편입니다. 즉, \(\frac{v^{2}}{c^{2}}\)가 0에 가깝기 때문에 지구에 있는 B는 A에 비해 결코 늙었다고 할 수 없을 만큼 그 노화 정도에서 거의 차이를 보이지 않을 겁니다. 만약 인류가 광속에 준하는 속력을 내는 우주왕복선을 개발한다면, 그때는 정말로 늙은 B와 젊은 A를 볼 수 있을지도 모르죠.